La curiosa raíz cuadrada de 308462, Pi y nuestros primeros Padres

¿Qué dirían ustedes de un número irracional con grupos de cifras que se repiten muy ordenadamente?...
Cuando me mostraron la raíz cuadrada del número 308462:

555.55557777777733333335111111022222227199999

casi lloro de la emoción por tan curiosa coincidencia. Me preguntaba si existían otros números cuya raíz cuadrada lo dejen a uno atónito, y si su cantidad era infinita (obviamente que no me refiero a los números: 4x308642, 9x308642, 16x308642, etc., cuyas raíces son: 1111.11115..., 1666.6667..., 2222.222311..., etc.).

Y me puse manos a la obra. Comencé probando número por número y analizando para cada uno su raíz... y perdí las esperazas de encontrar otro numerito entero cuya raíz esté compuesta inicialmente por números repetitivos. Al cabo de varios días me di cuenta rápidamente de que por este camino no encontraría otra “curiosa” coincidencia.

Entonces decidí descomponer el número 308462, y al sacarle nada más que la mitad, me llamó la atención que el resultado fuera 154321 (que, además, es un número primo). ¡Una pista! ¿Serendipia?....Me invadió la certeza de que el producto de un número “x” por un número compuesto por cifras consecutivas, generaba una raíz con cifras repetitivas (x=2, para 154321)

Así que, para probar esta hipótesis (algo descabellada, lo admito), nuevamente empecé a tabular en Hoja de Cálculo, por un lado las columnas: 121, 1321, 14321, 154321, 1654321, 17654321, 187654321, y así sucesivamente; y por otro lado las filas compuestas por los enteros del 1 al ya no me acuerdo. Rigurosamente miré cada uno de los elementos de la matriz “raíz cuadrada de columna x fila”, a fin de descubrir algún irracional que tuviera cifras repetitivas..... y ¡Aleluya!, descubrí lo siguiente:

Raíz cuadrada de 14321*29= 644.44472222216235634764333396314
(y obviamente, las raíces cuadradas de los números: 14321*29*4, 14321*29*9, ...., tendrán esta peculiaridad)

Raíz cuadrada de 1654321x134=
14888.8889444444443407960202872454

Raíz cuadrada de 17654321x1430=
158888.888944444444434731934735331

Raíz cuadrada de 187654321x38=
84444.4444472222222221765350877208

Raíz cuadrada de 1987654321x1610=
1788888.88889444444444443581780538

Bueno... pero podría existir una fórmula que genere (para n=1,2,3....) números enteros cuya raíz cuadrada estuviese compuesta por cifras repetitivas????

Para empezar, encontremos una fórmula que genere, para cada valor de n= 1,2,3,..., los valores de M1= 11, M2= 121, M3= 1321, ....

Luego, buscamos la fórmula que genere al bendito número Xn que multiplicado por Mn dé el número An cuya raíz cuadrada sea un numerito irracional con cifras repetitivas.

Veamos:

Para: n = 1, M1 = POTENCIA(10,1) + 1 = 11
Para: n = 2, M2 = POTENCIA(10,2) + (1+2*POTENCIA(10,1) ) = 121
Para: n = 3, M3 = POTENCIA(10,3) + (1+2*POTENCIA(10,1)+3*POTENCIA(10,2) ) = 1 321

Podemos darnos cuenta que:

M n = POTENCIA(10,n) + SUMATORIA ( j * POTENCIA(10, j-1) ) ...... (1)
De: j =1 hasta n

Probemos para:

n = 10, M10 = 20 987 654 321
n = 11, M11 = 220 987 654 321
n = 12, M12 = 2 320 987 654 321
.....
n = 20, M20 = 320 987 654 320 987 654 321

Determinación de una fórmula general para Mn

Sea: y= 1+x+POTENCIA(x,2)+POTENCIA(x,3)+POTENCIA(x,4)+..... +POTENCIA(x,n) = (POTENCIA (x, n+1) – 1) / (x-1)

Derivando y con respecto a x:

dy/dx = 1+2*x+3*POTENCIA(x,2)+4*POTENCIA(x,3)+ ..... +n*POTENCIA(x,n)-1 = (POTENCIA(x,n)*(nx-n-1) + 1) / POTENCIA((x-1),2)

Si hacemos x=10:

1 + 2*POTENCIA(10,1) + 3*POTENCIA(10,2) + 4*POTENCIA(10,3) + ..... + n*POTENCIA(10,n-1) = (POTENCIA(10,n)*(9n-1) + 1 )/81 =

= SUMATORIA ( j * 10 j-1) ...... (2)
De: j =1 hasta n


Por lo que, reemplazando (2) en (1):


M n = 10n + (10n (9n-1) + 1 )/81 = (1/81) (10n (80+ 9n) + 1) ...... (3)

Otra cuestión curiosa:

M1, M3, M4, M5, M13, son números primos


Determinación de Xn

Revisemos detenidamente estos resultados:

Para n= 1, Mn = 11, xn = 890 = 10*(80+9*1)
Para n= 2, Mn = 121, xn = 98 = (80+9*2)
Para n= 3, Mn = 1321, xn = 1070 = 10*(80+9*3)
Para n= 4, Mn = 14321, xn = 116 = (80+9*4)
Para n= 5, Mn = 154321, xn = 1250 = 10*(80+9*5)
Para n= 6, Mn = 1654321, xn = 134 = (80+9*6)

Generalizando, para n impar: X n = 10 * (80 + 9*n), y
Para n par: X n = 80 + 9*n

Mejor aún, para cualquier número entero n:

X n = POTENCIA (10; (1 –(-1)n)/2 ) * (80 + 9n) ....... (4)

Ahora sí, para cada n (entero); tenemos los números:

A n = M n * X n

cuyas raíces cuadradas tienen cifras repetitivas.

Por ejemplo, para n = 20:

A 20 = 320 987 654 320 987 654 321 * 260 =

Raíz cuadrada de A 20 : 288 888 888 888 . 888888888894444444444

A partir de aquí, comenzó mi martirio y todo el tiempo que me sobraba a la salida de la oficina lo dediqué a la búsqueda de la relación entre Pi y estas curiosas raíces….. Combiné de mil modos éstas para que apareciera Pi… y ¡NADA!...

- YA VES? - me dijo mi esposa- … eso te pasa por jugar con ese número travieso…. ¿qué has encontrado?... NADA… YA VES?????
Entonces, serendípicamente descubrí que después de la NADA aparece YAVE (mágicas palabras de Miriam Vera):

NADA YAVE, que leído al revés es: EVA Y ADAN (¡eureka!)