π y los números primos: una curiosa conexión descubierta sin matemática avanzada

PI Y LOS NUMEROS PRIMOS

(Artículo aparecido en la Página de Pi el 11.Mayo.2001, escrito por Alberto Espinoza)

Las infinitas cifras de pi (π), finalmente, pueden tener todas las combinaciones que queramos. Quizás hasta se repita una cantidad apreciable de las mismísimas cifras de pi, dentro del mismo pi, una o varias veces, como de casualidad, en algún lugar muy lejano, distante a millones de años luz de la coma decimal... sin que podamos demostrarlo, por ahora... por lo que deberíamos guardar nuestro asombro para cuando esto ocurra...

Lo que sí asombra ahora es la relación de hermandad entre pi y los números primos, como esta:

(1-1/2²)(1-1/3²)(1-1/5²)(1-1/7²)(1-1/11²)(1-1/13²) .... = 6/π² ........ (a)

... aunque obviamente es más hermosa la generalización de la relación entre la potencia p de pi, y las p-potencias de los números primos:

(1-1/2^p)(1-1/3^p)(1-1/5^p)(1-1/7^p)(1-1/11^p)(1-1/13^p) .... = A_p / π^p ........ (b)

en donde se pueda determinar el valor de A_p (número racional), como función de p.

Para encontrar el vínculo general entre los números primos y pi con pocas herramientas matemáticas, no nos queda más que la intuición y el aprovechamiento de las analogías ... y tener fe en que las leyes matemáticas deben ser sencillas y bellas, a diferencia de las otras leyes que algunos las respetan solo a regañadientes...

Veamos. Recordemos que existe una fórmula que permite obtener pi, utilizando la sumatoria de las inversas de los cuadrados de los números enteros:

1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + 1/6² + .... = π²/6 ........ (c)

¡Ajá!... comparando las expresiones (a) y (c) ya se están dando cuenta de algo...

Bueno, sigamos:

Para las cuartas potencias:

1/1⁴ + 1/2⁴ + 1/3⁴ + 1/4⁴ + 1/5⁴ + 1/6⁴ + .... = π⁴/90 ........ (d)

(Por si acaso, Euler obtuvo las expresiones c y d)

Para las sextas potencias:

1/1⁶ + 1/2⁶ + 1/3⁶ + 1/4⁶ + 1/5⁶ + 1/6⁶ + .... = π⁶/945 ........ (e)

Para las octavas potencias:

1/1⁸ + 1/2⁸ + 1/3⁸ + 1/4⁸ + 1/5⁸ + 1/6⁸ + .... = π⁸/9450 ........ (f)

La cosa se pone fácil. Si analizamos los denominadores de estas expresiones: 90, 945, 9450... notamos hábilmente que el número 945 se obtiene multiplicando por 10.5 el 90, y que 9450 se obtiene multiplicando por 10.0 el 945.... por lo que inducimos que el siguiente número de la serie tiene que ser: 9450 por 9.5, osea: 89775.... y así de fácil, obtenemos la fórmula que relaciona a pi con las décimas potencias de los números enteros:

1/1¹⁰ + 1/2¹⁰ + 1/3¹⁰ + 1/4¹⁰ + 1/5¹⁰ + 1/6¹⁰ + .... = π¹⁰/89775 ........ (g)

Desgraciadamente no podemos gritar ¡eureka!. Si calculamos pi con esta fórmula, su valor sería 3.128662478298... La verdadera fórmula que relaciona a pi con las décimas potencias de los números enteros es:

1/1¹⁰ + 1/2¹⁰ + 1/3¹⁰ + 1/4¹⁰ + 1/5¹⁰ + 1/6¹⁰ + .... = π¹⁰/93555 ........ (h)

Con lo visto hasta el momento, podemos afirmar fehacientemente que el denominador del valor derecho de la fórmula para las duodécimas potencias es un número entero... equivocándonos nuevamente, dado que:

1/1¹² + 1/2¹² + 1/3¹² + 1/4¹² + 1/5¹² + 1/6¹² + .... = π¹²/ (638 512 875 / 691) ........ (i)

Lo que sí podemos decir, a estas alturas, es que existe una fórmula general para:

1/1^p+ 1/2^p + 1/3^p + 1/4^p + 1/5^p + 1/6^p + .... = π^p/A_(p) ........ (j)

Podemos calcular el valor de A_(p) en función de los valores A₂, A₄, .... , A_(p-2) utilizando la fórmula (j):

 

desde j =1, hasta j = p/2

que se deduce fácilmente (... es un decir) usando herramientas matemáticas como el Análisis de Fourier... y bastante paciencia para generalizar integrales indefinidas de funciones trigonométricas mediante sumatorias...

Nota: Para ser sincero, primero uno se da cuenta que las series de Euler para pi pueden extenderse para otras potencias pares (o impares... pero para nuestros propósitos, solo vamos a considerar las potencias pares.... ya verán porqué...), y generalizar luego para cualquier potencia par "p", observando los valores de "A" respectivos que van saliendo a medida que calculamos la sumatoria y la relacionamos con el "verdadero" valor de la potencia p de pi (π).

Mediante la fórmula (j), se halla, para p=14, que :

7/15! = 1/ (13! * A₂) - 1/ (11! * A₄) + 1/ (9! * A₆) - 1/ (7! * A₈) + 1/ (5! * A₁₀)
            - 1/ (3! * A₁₂) + 1/ (1! * A₁₄)                         .... (k)

Pero, sabemos que: A₂ = 6, A₄ = 90, A₆ = 945, A₈ = 9450, A₁₀ = 93555,

A₁₂ =638 512 875 / 691

Entonces, reemplazando estos valores en (k), tenemos que: A₁₄ = 9 121 612.5; y :

1/1¹⁴ + 1/2¹⁴ + 1/3¹⁴ + 1/4¹⁴ + 1/5¹⁴ + 1/6¹⁴ + .... = π¹⁴/ (9 121 612.5) ........ (l)

con la que solamente considerando el primer término de la serie infinita, se calcula para pi un valor de 3.14157891, y con los dos primeros términos, 3.141592606....

Con las fórmulas (i) y (j), podemos encontrar la fórmula para obtener pi para cualquier potencia par.

Pero, al empezar este estudio dije que determinaríamos la relación que existe entre la potencia p de pi, y las p-potencias de los números primos:

Experimentemos. Sea:

(1-1/2^p)(1-1/3^p)(1-1/5^p)(1-1/7^p)(1-1/11^p)(1-1/13^p) .... = k ........ (m)

Para p=6, y usando "todos" los números primos (bueno... "bastantes"), el valor de k resulta ser: 0.982952592265.

Ahora, suponiendo que la fórmula (b) fuera cierta, tenemos que:

A₆ = k π⁶ = 945, que "coincide" con el acompañante de π⁶ de la fórmula (e).

Del mismo modo, para p=8, se obtiene: k=0.995939201125

Entonces: A₈ = k π⁸ = 9450 ... Notemos la "coincidencia" con (f)

Para p=10, k=0.999006413069

Entonces: A₁₀ = k π¹⁰ = 93555 ... Notemos esta nueva "coincidencia", con (g)

Para p=12, k=0.999753973990

Entonces: A₁₂ = k π¹² = 924041.787264823 ó 638 512 875 / 691 ...Pero, ¡estamos con suerte! Comparemos este valor con el de la expresión (h)... ¿es tan ordenado el azar?

... Pero ¡basta ya de coincidencias! ... Hay un proverbio chino que dice: Si un hombre te dice caballo, ríete de él... Si un segundo hombre te dice caballo, duda... Si un tercer hombre te dice caballo... anda pensando seriamente en comprarte montura y herraduras...y podría agregarse que si un cuarto hombre de dice caballo, relincha nomás...

Ahora sí, con plena certeza podemos apostar que para p=14, A₁₄ = 9 121 612.5, tal y como se obtuvo en la expresión (l)

Finalmente, la relación entre la potencia p (número par) de pi, y las p-potencias de los números primos, es ésta:

(1-1/2^p)(1-1/3^p)(1-1/5^p)(1-1/7^p)(1-1/11^p)(1-1/13^p) .... = A _p / π^p

Siendo (según la fórmula (j) ):

 

desde j =1, hasta j = p/2

... Sí, ya sé...el cálculo del valor de la constante A es tedioso. Sin embargo, solamente se utilizan funciones aritméticas simples para encontrarlo.

Ejemplos:

(1-1/2²)(1-1/3²)(1-1/5²)(1-1/7²)(1-1/11²)(1-1/13²) .... = 6 / π²

(1-1/2⁴)(1-1/3⁴)(1-1/5⁴)(1-1/7⁴)(1-1/11⁴)(1-1/13⁴) .... = 90 / π⁴

(1-1/2⁶)(1-1/3⁶)(1-1/5⁶)(1-1/7⁶)(1-1/11⁶)(1-1/13⁶) .... = 945 / π⁶

(1-1/2⁸)(1-1/3⁸)(1-1/5⁸)(1-1/7⁸)(1-1/11⁸)(1-1/13⁸) .... = 9450 / π⁸

(1-1/2¹⁰)(1-1/3¹⁰)(1-1/5¹⁰)(1-1/7¹⁰)(1-1/11¹⁰)(1-1/13¹⁰) .... = 93 555 / π¹⁰

(1-1/2¹²)(1-1/3¹²)(1-1/5¹²)(1-1/7¹²)(1-1/11¹²)(1-1/13¹²) .... = (638 512 875 / 691)/ π¹²

(1-1/2¹⁴)(1-1/3¹⁴)(1-1/5¹⁴)(1-1/7¹⁴)(1-1/11¹⁴)(1-1/13¹⁴) .... = 9 121 612.5 / π¹⁴

y así, sucesivamente, podemos generar todas las fórmulas que queramos para cualquier potencia par "p", en la que el valor de la potencia "p" de pi, se relaciona con las potencias "p" de los números primos...¿No asombra tanta belleza?...

 

Nota actual: La exploración planteada ha sido realizada sin recurrir a teorías avanzadas, como el análisis complejo o la Riemann Hypothesis, que forma parte del estudio profundo de la distribución de los números primos.

Conexión del número π con los números primos y los múltiplos de 4

Conexión del número π con los números primos y los múltiplos de 4

Existe una fórmula sorprendente que conecta el número π con los números primos y los múltiplos de 4. El enfoque muestra cómo ciertas propiedades aritméticas permiten aproximar π de manera elegante y poco convencional. Esta relación fue expuesta en 2021 por Isaac Wood en Oxford, Reino Unido, dentro de un contexto de divulgación matemática. No corresponde a un descubrimiento académico formal, sino a una fórmula sorprendente que busca acercar la teoría de números al público general mostrando cómo π aparece en lugares inesperados.

Wood presenta una fórmula matemática que relaciona π con los números primos y su cercanía a múltiplos de 4. La fórmula es conocida como la fórmula de Vieta modificada, y se explora su interpretación en términos de divisibilidad y patrones numéricos. Lo resaltante de este planteamiento es que para cada número primo, se observa su relación con el múltiplo de 4 más cercano. Esta relación se utiliza para construir una expresión que converge hacia π/4:

En donde m(p) es el múltiplo de 4 más cercano al primo p.

Así por ejemplo, si tomamos un número primo como 5, su múltiplo de 4 más cercano es 4. Para 7, el múltiplo más cercano es 8…Para 31, sería 32. Estas diferencias se incorporan en la fórmula, generando un producto que aproxima π.

El producto infinito que se obtiene a partir de estos cálculos converge a π, mostrando una conexión inesperada entre la geometría (π) y la teoría de números (primos y múltiplos de 4). La fórmula no es la típica serie de Leibniz o el producto de Wallis, sino una construcción basada en números primos. Su concepto aparentemente sencillo, tiene un resultado muy elegante y profundo. π aparece en un contexto puramente aritmético, sin necesidad de trigonometría ni geometría.

La relación obtenida posee un alto valor educativo, pues busca mostrar cómo las matemáticas esconden patrones sorprendentes y cómo π aparece en contextos inesperados…y demuestra que π no solo está ligado a la geometría y trigonometría, sino también a la estructura de los números primos. La fórmula presentada es un ejemplo de cómo la teoría de números puede revelar conexiones inesperadas con constantes fundamentales.

Cantidad de primos P <= N. La gráfica muestra N=300

 

Referencia:

Fórmula Pi Asombrosa – Números Primos y Múltiplos de 4 – TOM ROCKS MATHS

Un “Piema” para recordar las cifras de π

Un “Piema” para recordar las cifras de π

Desde hace tiempo siento una particular fascinación por el número Pi (π). Como muchos aficionados a las matemáticas, me intriga su naturaleza: un número que aparece en innumerables fórmulas relacionadas con círculos y fenómenos físicos, y cuya expansión decimal continúa indefinidamente sin repetirse. Sabemos que comienza con 3.1415926535…, pero sus cifras siguen extendiéndose sin final.

En más de una ocasión, en momentos de curiosidad o simple entretenimiento intelectual, he intentado explorar distintas maneras de relacionar π con otras ideas matemáticas. Por ejemplo, obtuve una fórmula —algo compleja— que lo vincula con los números primos y sus potencias. Pero más allá de ese tipo de curiosidades matemáticas, también me interesó abordar el número π desde un terreno más lúdico: la memoria y el lenguaje.

Así surgió una pequeña idea: intentar construir un recurso mnemotécnico que permitiera recordar una larga secuencia de sus cifras.

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Un pequeño experimento entre matemática y poesía

La idea era simple. Si cada palabra de un texto tuviera un número de letras equivalente a un dígito, entonces bastaría con contar las letras de cada palabra para reconstruir una secuencia numérica.

En este caso, el número de letras de cada palabra corresponde a los dígitos de π:

• 3 letras → 3

• 1 letra → 1

• 4 letras → 4

• 5 letras → 5

• etc.

Cuando una palabra tiene 10 letras, se interpreta como el dígito 0.

A partir de este principio me entretuve componiendo un pequeño poema —o más bien un “Piema”— que permitiera recordar una larga cadena de cifras del número π. Con el tiempo, el texto comenzó a circular en algunos sitios de internet y terminó apareciendo citado en páginas dedicadas al propio número π.

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El Piema

Voy a amar a solas, deprimido
no sabrán jamás que sueño hallarte,
perímetro difícil, escondido
que en mis neuronas late...
Oscuro el camino para ver
los secretos que tú ocultas
¿hallarlos podré?...
Desconozco tu relación perfecta…
sabe a aleatorio suspiro,
a exacta secuencia sin eternidad,
calamidad con sentido,
¡magia y casualidad!
Sufro bastante tu arrogancia desmedida,
exhausto, sigo avanzando,
— ¡Dios, dáme otros dígitos!
— ¡No soy Matemático!
intento resolver... y pierdo ...
pero —entusiasta— siento el infinito mágico,
la enigmática relación diabólica...
¿Demasiado misterio?
¡locura de dragones románticos sin Luna!
mientras yo —poeta— sin Musa ya y ...
y perdido insinuando locura
¡ríndote pleitesía!

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Las cifras que esconde

Si se cuentan cuidadosamente las letras de cada palabra del poema, se obtiene la siguiente secuencia:

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

En total, el “Piema” permite reconstruir más de cien cifras de π, comenzando naturalmente por el 3 inicial.

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Un juego entre memoria y matemáticas

Este pequeño experimento nació simplemente como un pasatiempo: una manera de combinar la curiosidad matemática con el gusto por las palabras. Sin embargo, también ilustra algo interesante: las matemáticas no siempre viven únicamente en fórmulas y demostraciones. A veces pueden aparecer en un verso, en una historia o en una simple regla mnemotécnica.

Al final, memorizar π puede ser un desafío… pero también una excusa perfecta para dejar que la imaginación y los números dialoguen por un momento.