Pi y la Mecánica Cuántica: El reencuentro de Madhava con la teoría de cuerdas

En el siglo XV, el matemático indio Madhava de Sangamagrama desarrolló una serie infinita para π. Estamos hablando de una época en la que todavía faltaban varios siglos para que buena parte de la matemática moderna tomara la forma que hoy conocemos.

La idea era sencilla de escribir, aunque nada sencilla de obtener: expresar π mediante una sucesión infinita de operaciones que, al continuar indefinidamente, se aproxima al valor del número.

Y aquí aparece una de esas coincidencias matemáticas que a mí siempre me llaman la atención.

Casi seiscientos años después, π volvió a aparecer en un contexto completamente diferente.

En 2024, los físicos Aninda Sinha y Arnab Priya Saha, del Indian Institute of Science, trabajaban con problemas relacionados con la dispersión de partículas de alta energía y la teoría de cuerdas. Al combinar determinadas ecuaciones encontraron una nueva serie infinita para π. El resultado fue publicado en Physical Review Letters.

Hasta aquí, alguien podría decir: “Bueno, otra fórmula para π”... Y tendría razón.

 

Lo interesante vino después.

La nueva expresión contenía un parámetro, λ, que podía tomar distintos valores. Al modificar λ, el resultado continuaba conduciendo hacia π, pero cambiaba la rapidez con la que la serie alcanzaba sus decimales correctos. Es decir, había una especie de control matemático sobre la velocidad de convergencia.

Pero cuando los investigadores llevaron λ hacia el infinito ocurrió algo todavía más curioso.

Las fracciones asociadas con la formulación de la física cuántica comenzaron a cancelarse y la expresión terminó transformándose exactamente en la serie que Madhava había encontrado en la India varios siglos antes.

 

Una precisión necesaria

Conviene hacer una aclaración para evitar malentendidos. Que π aparezca en contextos tan distintos no significa que sea una especie de ingrediente místico del universo. Significa que π está profundamente ligado a estructuras matemáticas que usamos una y otra vez: la geometría del círculo, la periodicidad, las ondas, las transformadas de Fourier, las distribuciones de probabilidad continuas, las funciones Gamma y Beta. Cuando la física moderna se topa con esas estructuras, π aparece de forma natural. No hay milagro, sino una misma matemática subyacente adoptando disfraces distintos.

En el caso de Sinha y Saha, las herramientas centrales fueron las funciones Beta de Euler, que a su vez se expresan mediante funciones Gamma. Y la función Gamma contiene a π en valores como Γ(1/2) = √π. Al tomar el límite λ → ∞, esa estructura más general se reduce a la serie de Madhava. No es que Madhava estuviera “escondido” en la teoría de cuerdas; es que ambas expresiones son casos particulares de una misma familia matemática.

 

¿Qué significa realmente este resultado?

No significa que de pronto hayamos descubierto que π «explica» la física cuántica. Sería una conclusión demasiado grande para lo que realmente muestra el resultado.

Tampoco significa que hayamos encontrado la fórmula más eficiente para calcular π. Para ciertos valores de λ la serie converge más rápido que la de Madhava, pero sigue estando muy lejos de los algoritmos modernos, como los de Ramanujan o Chudnovsky, que permiten calcular millones de decimales con enorme eficiencia.

Lo interesante es algo más concreto: una estructura matemática obtenida en un contexto moderno de física puede contener, como caso límite, una expresión matemática desarrollada muchos siglos antes. Y eso plantea una pregunta profunda: ¿cuántas conexiones de este tipo existen entre resultados obtenidos en épocas y problemas aparentemente desconectados?

Los autores del trabajo sugieren posibles vínculos con horizontes de eventos de agujeros negros y con algoritmos utilizados en física teórica. Son sugerencias especulativas, no aplicaciones demostradas, pero muestran que la estructura matemática encontrada podría tener ramificaciones en otros campos.

 

La matemática no entiende de épocas

Hay algo que me gusta particularmente de este tipo de resultados: la matemática no parece preocuparse demasiado por las épocas.

Madhava trabajó con sus problemas en la India del siglo XV. Mucho después, otros matemáticos y físicos desarrollaron herramientas completamente diferentes, con otro lenguaje y otros problemas. Y, sin embargo, una expresión que parecía pertenecer a un mundo puede terminar escondiendo una estructura que ya estaba allí siglos atrás.

Eso también explica por qué π resulta tan difícil de encerrar en una sola definición práctica.

Decimos que es la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. Correcto. Pero π no se queda tranquilamente dentro de los círculos. Aparece una y otra vez cuando las matemáticas comienzan a describir fenómenos más complejos. Y cada nueva aparición obliga, por lo menos, a detenerse un momento.

Quizá esa sea una de las cosas más entretenidas de las matemáticas. Uno cree que está estudiando una cosa y, después de unas cuantas vueltas, aparece π. Y π, por lo visto, tiene la mala costumbre de aparecer justo donde nadie lo había invitado.

Pero no porque esté en todas las cosas, sino porque nuestras mejores herramientas para describir el mundo —las ondas, los círculos, las probabilidades, las simetrías— no dejan de encontrárselo una y otra vez. Y π, fiel a su costumbre, siempre responde a la cita.